Funcţii derivabile

Derivate laterale
Operaţii cu funcţii derivabile
Derivatele funcţiilor elementare
Derivatele funcţiilor compuse
Interpretarea geometrică a derivatei
Derivate de ordin superior
Teorema lui Fermat
Teorema lui Rolle
Convexitate/concavitate
Teorema lui Lagrange
Regula lui L'Hospital

Definiţii

Fie funcţia f:D\rightarrow \mathbb{R} şi x_{0}\in D, D interval sau reuniune de intervale reale. Definiţia 1. Se spune că f are derivată în punctul x0 dacă există \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Definiţia 2. Se spune că f este derivabilă în punctul x0 dacă există şi este finită \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}. Notaţie: Limita \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} se notează cu f'(x_{0}) şi se numeşe derivata funcţiei în punctul x0. Definiţia 3. Funcţia f:D\rightarrow \mathbb{R} este derivabilă pe mulţimea D'\subseteq D dacă f este derivabilă în fiecare punct din D'. Problema 1. Să se demonstreze că funcţia f:\mathbb{R}-\left \{- 1 \right \},f(x)=\frac{x}{x+1} este derivabilă în punctul x0=1. Soluţie. \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0)}}{x-x_{0}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x-1}{2(x+1)}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{2(x+1)}=\frac{1}{4}, deci f este derivabilă în x0=1 şi f'(1)=\frac{1}{4}. Teoremă Dacă funcţia f:D\rightarrow \mathbb{R} este derivabilă în punctul x_{0}\subseteq D, atunci f este continuă în punctul x_{0}\subseteq D.