Derivate de ordin superior

Definiţie 1. Funcţia \(f:D\rightarrow\mathbf{R}\) este de două ori derivabilă în punctul \(x_{0}\in D\), dacă există şi este finită limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}=f''(x_{0})\).
Definiţie 2. Funcţia \(f:D\rightarrow\mathbf{R}\) este de două ori derivabilă pe mulţimea D dacă f' este derivbilă în fiecare punct al mulţimi D.
Definiţie 3. Dacă funcţia \(f^{(n-1)}:D_{n}\rightarrow\mathbf{R}\) este derivabilă pe mulţimea Dn, atunci spunem că f este de n ori derivabila pe Dn, notat f(n).
Teoremă (formula lui Leibniz). Dacă \(u,v:D\rightarrow\mathbf{R}\) sunt funcţii de n ori derivabile, nN*, atunci uv este de n ori derivabilă şi $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}.$$ Problema 6. Să se determine derivata de ordinul n a funcţiei \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\;f(x)=x^{2}e^{x},\;(n\in \mathbf{N})\).
Soluţie. Fie \(u,v:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\;u(x)=x^{2},\;v=e^{x},\) atunci $$u'(x)=2x,\;u^{(2)}(x)=2,\;u^{(n)}(x)=0,\forall n\geq3$$ şi \(u^{(n)}(x)=e^{x},\forall n\in \mathbf{N}.\)
Din formula lui Leibniz rezultă că $$f'(x)=(uv)'(x)=(u'v+uv')(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}.$$ $$f''(x)=(uv)''(x)=\left(C_{2}^{0}u''v+C_{2}^{1}u'v'+C_{2}^{2}uv''\right)(x)=2e^{x}+4xe^{x}+x^{2}e^{x}.$$ $$f^{(3)}(x)=(uv)^{(3)}(x)=\left(C_{3}^{0}u^{(3)}v+C_{3}^{1}u^{(2)}v'+C_{3}^{2}u'v^{(2)}+C_{3}^{3}v^{(3)}\right)(x)=$$ $$=0+6e^{x}+6xe^{x}+x^{2}e^{x}=6e^{x}+6xe^{x}+x^{2}e^{x}.$$ $$f^{(n)}(x)=(uv)^{(n)}(x)=\left(C_{n}^{0}u^{(n)}v+\ldots+C_{n}^{n-2}u^{(2)}v^{(n-2)}+C_{n}^{n-1}u'v^{(n-1)}+C_{n}^{n}uv^{(n)}\right)(x)=$$ $$=0+\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot2e^{x}+n\cdot2xe^{x}+x^{2}e^{x}=\left[n(n-1)+2nx+x^{2}\right]e^{x},\;\forall n\geq3.$$ Mergi la început          Test de verificare