Derivate laterale

Definiţia 1. Se numeşte derivata laterală la stânga a funcţiei \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) în punctul x0 limita \( f'_{s}(x_{0})=\lim_{x\nearrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) dacă această limită există.
Definiţia 2. Se numeşte derivata laterală la dreapta a funcţiei \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) în punctul x0 limita \( f'_{d}(x_{0})=\lim_{x\searrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) dacă această limită există.
Teoremă. Funcţia \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) este derivabilă în punctul \(x_{0}\in D\) dacă şi numai dacă f are derivate laterale finite în x0 şi derivatele laterale sunt egale.
Problema 2.Să se determine valorile lui m,n pentru care funcţia $$f:\mathbf{R\rightarrow R},\:\begin{cases} me^{x}+mx+n,\:x<0\\\cos3x,\:x\geq0 \end{cases}$$ este derivabilă în x0.
Soluţie. Dacă f este derivabilă în punctul x0, atunci f este continuă în x0, deci $$\lim_{x\nearrow x_{0}}(me^{x}+mx+n)=\lim_{x\searrow x_{0}}(\cos3x)=\cos0=1\Rightarrow m+n=1\Rightarrow n=1-m $$ $$f'_{s}(0)=\lim_{x\nearrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\nearrow 0}\frac{me^{x}+mx+n-1}{x}=\lim_{x\nearrow 0}\frac{me^{x}+mx+1-m-1}{x}=\;=\lim_{x\nearrow 0}\frac{m(e^{x}-1)}{x}+m=2m $$ $$f'_{d}(0)=\lim_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\searrow0}\frac{\cos3x-1}{x}=\lim_{x\searrow0}\frac{\cos3x-\cos0}{x}=\lim_{x\searrow0}\frac{-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{3x}{2}}{x}=$$ $$=-2\lim_{x\searrow0}\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\cdot\lim_{x\searrow0}\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\cdot\frac{9x}{4}=-2\cdot1\cdot1\cdot0=0 f'_{s}(0)=f'_{d}(0)\Rightarrow2m=0\Rightarrow m=0\Rightarrow n=1-0=1. $$ Problema 3.Să se determine domeniul de derivabilitate pentru funcţia $$f:\mathbb{R\rightarrow\mathbb{R}},\;f(x)=\max\left(x+1,x^{2}-1\right). $$ Soluţie. Explicităm funcţia:$$x^{2}-1-(x+1)=x^{2}-x-2,\;x^{2}-x-2=0,\:\Rightarrow\triangle=9,\:x_{1}=-1,x_{2}=2 $$ Tabelul de semn:$$\begin{array}{cccccccc}\ x & -\infty & & -1 & & 2 & & +\infty\\ f(x) & + & ++++ & 0 & ----- & 0 & ++++++& + \end{array} $$ $$ f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\in(-\infty,-1)\\ x+1, & x\in[-1,2]\\ x^{2}-1, & x\in(2,+\infty) \end{cases}$$ f este derivabilă pe intervalele \((-\infty,-1),\:(1,2),\:(2,+\infty),\;f(-1)=0,\;f(2)=3.\) $$f'_{s}(-1)=\lim_{x\nearrow-1}\frac{x^{2}-1-0}{x+1}=\lim_{x\nearrow-1}(x-1)=-2,\; $$ $$f'_{d}(-1)=\lim_{x\searrow-1}\frac{x+1-0}{x+1}=1, $$ deci f nu este derivabilă în -1. $$f'_{s}(2)=\lim_{x\nearrow2}\frac{x+1-3}{x-2}=1,\; $$ $$f'_{d}(2)=\lim_{x\searrow2}\frac{x^{2}-1-3}{x-2}=\lim_{x\searrow2}(x+2)=4, $$ deci f nu este derivabilă în 2.
Obţinem domeniul de derivabilitate $$D'=\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}. $$ Mergi la început