Derivatele funcţiilor compuse

Teorema.
Dacă funcţia \(\varphi:A\rightarrow D\) este derivabilă în punctul \(x_{0}\in A\) şi \(f:D\rightarrow\mathbf{R}\) este derivabilă în punctul \(\varphi(x_{0})\), atunci funcţia compusă \(f\circ\varphi:A \rightarrow\mathbf{R}\) este derivabilă în x0 şi \((f\circ\varphi)'(x_{0})=f'(\varphi(x_{0}))\cdot\varphi'(x_{0}).\)
Funcţia Derivata funcţiei Domeniul derivatei
\(f(x)=u^{n}(x),\:n\in\mathbf{N^{*}}\) \(f'(x)=n\cdot u^{n-1}(x)\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=u^{a}(x),\:a\in\mathbf{R}^{*}\) \(f'(x)=a\cdot u^{a-1}(x)\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=\sqrt{u(x)}\) \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u'(x)\) \((0,+\infty)\)
\(f(x)=\log_{a}u(x)\) \(f'(x)=\frac{1}{u(x)\ln a}\cdot u'(x)\) \((0,+\infty)\)
\(f(x)=\ln{u(x)}\) \(f'(x)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)\) \((0,+\infty)\)
\(f(x)=a^{u(x)},\:a>0,\: a\neq 0\) \(f'(x)=a^{u(x)}\ln{a}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=\sin{u(x)}\) \(f'(x)=\cos{u(x)}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=\cos{u(x)}\) \(f'(x)=-\sin{u(x)}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=tg\;u(x)\) \(f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}{u(x)}}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}\)
\(f(x)=\arcsin u(x)\) \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt[]{1-u^{2}(x)}}\cdot u'(x)\) \((-1,1)\)
\(f(x)=\arccos u(x)\) \(f'(x)=-\frac{1}{\sqrt[]{1-u^{2}(x)}}\cdot u'(x)\) \((-1,1)\)
\(f(x)=arctg\;u(x)\) \(f'(x)=\frac{1}{1+u^{2}(x)}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
\(f(x)=arcctg\;u(x)\) \(f'(x)=-\frac{1}{1+u^{2}(x)}\cdot u'(x)\) \(\mathbf{R}\)
Mergi la început            Test de verificare