Operaţii cu funcţii derivabile

Teorema. Dacă funcţiile \(f,g:D\rightarrow\mathbf{R,\:}\) sunt derivabile în punctul x0, atunci
f+g este derivabilă în punctul x0 şi \((f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0});\)
∗ α⋅f este derivabilă în x0 şi \(\left(\alpha\cdot f\right)'(x_{0})=\alpha\cdot f'(x_{0});\)
f⋅g este derivabilă în x0 şi \(\left(f\cdot g\right)'(x_{0})=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0})\)
∗ dacă \(g(x_{0})\neq0\) atunci \(\Large\frac{f}{g}\) este derivabilă în x0 şi \(\large\left(\frac{f}{g}\right)^{'}(x_{0})=\frac{f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}\)
Consecinţă. Dacă funcţiile \(f,g:D\rightarrow\mathbf{R}\) sunt derivabile pe mulţimea D, atunci \(f+g, \alpha\cdot f, f\cdot g,\large \frac{f}{g} \) sunt derivabile pe mulţimea D şi:
1. \(\left(f+g\right)'=f'+g';\)
2. \(\left(\alpha\cdot f\right)'=\alpha\cdot f';\)
3. \(\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g';\)
4. \(\Large\left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}\). (Reguli de derivare)
Exemplul 1. Să se calculeze derivata funcţiei \(f:\mathbf{R\rightarrow R},\:f(x)=x^{3}-5x^{2}+4x-7\)
$$f'(x)=(x^{3})'-5(x^{2})'+4x'-7'=3x^{2}-5\cdot2x+4\cdot1+0=3x^{2}-10x+4$$ Exemplul 2. Să se calculeze derivata funcţiei \(f:\mathbf{R\rightarrow R},\:f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\)
$$f'(x)=\frac{(x^{2}-1)'(x^{2}+1)-(x^{2}-1)(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=$$ $$=\frac{2x(x^{2}+1-x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x\cdot2}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$$ Exemplul 3. Să se calculeze derivata funcţiei \(f:(0,+\infty)\mathbf{\rightarrow R},\:f(x)=(x^{2}+1)\ln x\)
$$f(x)=(x^{2}+1)'\cdot\ln x+(x^{2}+1)\cdot(\ln x)'=2x\cdot\ln x+(x^{2}+1)\cdot\frac{1}{x}=$$ $$=2x\ln x+\frac{x^{2}+1}{x}$$ Mergi la început          Test de verificare