Regula lui L'Hospital

Teoremă. Fie x0 un punct de acumulare a intervalului \(I\subseteq\overline{\mathbf{R}},\;f,g:I\rightarrow\mathbf{R}\) (sau \(f,g:I-\{x_{0}\}\rightarrow\mathbf{R}\)) două funcţii.
Dacă sunt îndeplinite condiţiile:
    ⁃ \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0\) sau \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\infty\);
    ⁃ f,g sunt derivabile pe mulţimea \(I-\{x_{0}\}\);
    ⁃ \(g'{x_{0}}\neq 0, \forall x\in I-\{x_{0}\}\)
    ⁃ există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\in\mathbf{R}\)
atunci există limita \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}\) şi este egală cu \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=l.\)
Observaţie. Regula lui L'Hospital poate fi utilizată şi în alte cazuri exceptate de limită:
    - dacă \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0,\;\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\infty\), atunci $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)\overset{0\cdot\infty}{=}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\left(\frac{0}{0}\right),$$ $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}(1+f(x))^{g(x)}=1^{\infty}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}e^{g(x)\cdot\ln(1+f(x))}=e^{\infty\cdot0}.$$ Problema 13. Să se calculeze: \(\lim_{x\searrow0}\frac{\ln(\sin5x)}{\ln(\sin3x)}.\)
Soluţie. Funcţiile \(f,g:\left(0,\frac{\pi}{5}\right)\rightarrow\mathbf{R},\;f(x)=\ln(\sin5x),\;g(x)=\ln(\sin3x)\) satisfac condiţiile cerute $$l=\lim_{x\searrow0}\frac{(\ln(\sin5x))'}{(\ln(sin3x))'}=\lim_{x\searrow0}\frac{\frac{1}{\sin5x}\cdot\cos5x\cdot5}{\frac{1}{\sin3x}\cdot\cos3x\cdot3}=\lim_{x\searrow0}\frac{\frac{5x}{\sin5x}}{\frac{3x}{\sin3x}}\cdot\frac{\cos5x}{\cos3x}=1,$$ deci \(\lim_{x\searrow0}\frac{\ln(\sin5x)}{\ln(sin3x)}=1.\)
Problema 14. Să se calculeze limita: \(\lim_{x\rightarrow\infty}(x-\ln(1+x)).\)
Soluţie. Limita este de forma \(\infty-\infty\).
Avem \(\lim_{x\rightarrow\infty}\left(x-\ln(1+x)\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}x\cdot\left(1-\frac{\ln(1+x)}{x}\right)=\infty\cdot(1-0)=\infty\), deoarece \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}\overset{L'H}{=}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=0\)
Problema 15. Să se calculeze limita: \(\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^{x}\right)^{\frac{1}{x}}.\)
Soluţie. Limita este de forma \(1^{\infty}\). $$\lim_{x\rightarrow0}\left(x+e^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\ln(x+e^{x})^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{\ln(x+e^{x})}{x}}\overset{L'H}{=}\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}\overset{L'H}{=}\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{e^{x}}{e^{x}}}=e.$$ Mergi la început