Teorema lui Fermat

Fie funcţia \(f:I\rightarrow\mathbf{R}\) şi \(x_{0}\in I.\)
Definiţia 1. Numărul x0 este un punct de minim local al funcţiei; f, dacă există o vecinătate V(x0) a lui x0 pentru care \(f(x)\leq f(x_{0}),\:\forall x\in V(x_{0})\cap I.\)

Definiţia 2. Numărul x0 este un punct de maxim local al funcţiei; f, dacă există o vecinătate V(x0) a lui x0 pentru care \(f(x)\geq f(x_{0}),\:\forall x\in V(x_{0})\cap I.\)

Definiţia 3. Punctele de minim local şi maxim local ale funcţiei f se numesc puncte de extrem.

Teorema. Dacă x0 este un punct de extrem al funcţiei f şi f este derivabilă în x0, atunci \(f'(x_{0})=0.\)

Definiţie. Dacă \(f:D\rightarrow\mathbf{R}\) este derivabilă pe intervalul deschis D, atunci răcinile exuaţiei \(f'(x)=0\) se numesc puncte critice ale lui f.

Observaţie. Teorema lui Fermat spune că punctele de extrem ale unei funcţii derivabile sunt puncte critice.

Problema 7.Să se determine numărul a>0 astfel încât \(5^{x}+a^{x}\geq 2,\;\forall x\in \mathbf{R}.\)

Soluţie. Fie funcţia \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\:f(x)=5^{x}+a^{x}.\)
Din enunţul problemei \(f(x)\geq f(0),\:\forall x\in \mathbf{R},\) deci x0=0 este un punct de extrem al funcţiei f.
Din teorema lui Fermat $$ f'(0)=0,\; f'(x)=5^{x}\ln 5+a^{x}\ln a\Rightarrow 5^{0}\ln 5+a^{0}\ln a=0\Rightarrow \ln(5a)=0 $$ $$\Rightarrow 5a=1\Rightarrow a=\frac{1}{5}.$$

Mergi la început