Teorema lui Lagrange

Teorema. Fie funcţia \(f:I\rightarrow\mathbf R\), I interval, \(a,b\in I\), a<b.Dacă
f este continuă pe intervalul [a,b],
f este derivabilă pe (a,b),
atunci există cel puţin un punct c∈(a,b) astfel încât \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\)
Observaţie. Dacă graficul funcţiei f admite tangente în fiecare punct între punctele A(a,f(a)) şi B(b,f(b)), atunci există cel puţin un punct pe graficul funcţiei în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta AB.
Problema 10. Să se arate că \(\frac{a-b}{\sin^{2}a}\,<\,ctg\,b-ctg\,a\,<\frac{a-b}{\sin^{2}b}\), dacă 0<a<b<900.
Soluţie. Funcţia \(f:(a,b)\rightarrow\mathbf{R}, f(x)=ctg\,x\) satisface condiţiile teoremei lui Lagrange, \(f'(x)=-\frac{1}{\sin^{2}x},\forall x\in (a,b)\),
deci există c∈(a,b), astfel încât a<c<bf'(a)<f'(c)<f'(b), atunci
$$-\frac{1}{\sin^{2}a}\,<\frac{\,ctg\,b-ctg\,a\,}{b-a}<-\frac{1}{\sin^{2}b}|\cdot(b-a) ⇔ \frac{a-b}{\sin^{2}a}\,<\,ctg\,b-ctg\,a\,<\frac{a-b}{\sin^{2}b}.$$ Consecinţele teoremei lui Lagrange Fie \(f:I\rightarrow \mathbf{R}\) o funcţie derivabilă.
1. Dacă \(f'(x)>0,\,\forall x\in I,\) atunci f este strict crescătoare pe I.
2. Dacă \(f'(x)\geq 0,\,\forall x\in I,\) atunci f este crescătoare pe I.
3. Dacă \(f'(x)<0,\,\forall x\in I,\) atunci f este strict descrescătoare pe I.
4. Dacă \(f'(x)\leq0,\,\forall x\in I,\) atunci f este descrescătoare pe I.
Problema 11. Se dă funcţia \(f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbf{R},\;f(x)+18x^{2}-\ln x.\) Să se determine intervalele de monotonie a funcţiei f.
Soluţie. Funcţia f este derivabilă şi \(f'(x)=36x-\frac{1}{x}.\)
Pentru a afla semnul funcţiei f' rezolvăm ecuaţia $$f'(x)=0\Leftrightarrow x^{2}=\frac{1}{36}\overset{x>0}{\Longleftrightarrow}x=\frac{1}{6}.$$ Funcţia f' este continuă pe intervalele $$\left(0,\frac{1}{6}\right),\left(\frac{1}{6},\infty\right)$$ şi are semn constant. Tabelul de variaţie:
x   | 0         \(\frac{1}{6}\)         +∞
f'(x)| / - - - - 0 + + + + +
f(x) |   \(\searrow\) \(\frac{1}{2}+\ln 6\)   \(\nearrow\)
Funcţia f este descrescătoare pe \(\left(0,\frac{1}{6}\right]\) şi crescătoare pe \(\left[\frac{1}{6},+\infty\right).\)
Problema 12. Să se demonstreze că: \(\ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1},\;\forall x\geq1.\)
Soluţie. Fie funcţia \(f:[1,\infty)\rightarrow\mathbf{R},\;\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}.\)
$$f'(x)=\frac{1}{x}-2\cdot\frac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x}-2\cdot\frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}}=$$ $$=\frac{x^{2}+2x+1-4x}{x(x+1)^{2}}=\frac{(x-1)^{2}}{x(x+1)^{2}}\geq0,\;\forall x\in\left[1,\infty\right).$$ Funcţia este crescătoare şi f(1)=0, atunci $$f(x)\geq f(1)\Leftrightarrow\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}\geq0\Leftrightarrow\ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1},\;\forall x\geq1.$$

Mergi la început                        Test