Teorema lui Rolle

Teorema. Fie funcţia \(f:I\rightarrow\mathbf{R}\) interval, a,bI, a<b.Dacă
° f este continuă pe [a,b],
° f este derivabilă pe (a,b),
° f(a)=f(b),
atunci există cel puţin un punct c∈(a,b) pentru care f'(c)=0.
Consecinţă. Între două răcini consecutive ale unei funcţii derivabile ş continue, există cel puţin o rădăcină a derivatei. Între două rădăcini consecutive ale derivatei unei funcţii există cel mult o rădăcină a funcţiei.
Şirul lui Rolle. Fie funcţia \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) derivabilă pe(a,b), continuă pe[a,b]. Fie c1,c2,...,ck punctele critice ale funcţiei.
Definiţie. Şirul lui Rolle:\(f(a),f(c_{1}),f(c_{2}),...,f(c_{k}),f(b).\). Numărul variaţiilor de semn din şirul lui Rolle este egal cu numărul rădăcinilor reale ale funcţiei.
Problema 8. Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei \(x^{2}-3x+\ln x=0,\;x>0.\)
Soluţie. Funcţia \(f:(0,\infty)\rightarrow\mathbf{R},\:f(x)=x^{2}-3x+\ln x\) este continuă, derivabilă pe \((0,\infty),\;f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}.\) Punctele critice: \(f'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow 2x^{2}-3x+1=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2}.\)
\(\lim_{x\searrow0}f(x)=-\infty,\;\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty\)
Şirul lui Rolle: $$f(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(\frac{1}{2})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(1)\;\;\;\;\;f(\infty)$$ $$-\infty\;\;\;\;\;-\frac{5}{4}-\ln2\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;\;+\infty$$ În rândul al doilea al şirului apare o singură variaţie de semn, deci ecuaţia f(x)=0 are o singură soluţie şi aceasta aparţine intervalului (1,∞).
Problema 9. Să se discute numărul soluţiilor ecuaţiei \(x^{3}-3x^{2}-9x+m=0\) în funcţie de parametrul real \(m\in\mathbf{R}.\)
Soluţie. Fie \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\;f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+m,\;f'(x)=3x^{2}-6x-9\), soluţiile ecuaţiei f'(x)=0 sunt c1=-1, c2=3.
Şirul lui Rolle: $$f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5+m\;\;\;\;\;\;\;\;\;m-27\;\;\;\;\;+\infty$$ Numărul variaţiilor de semn depinde de semnul expresiilor m+5 şi m-27
m      |-∞     -5      27       +∞
m+5  | - - - - 0 + + + + + + +
m-27| - - - - - - - - 0 + + +

Dacă $$m\in (0,-5)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$
⇒∃x1∈(3,∞).

Dacă $$m=-5\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$
⇒∃x1=x2=-1, x3∈(3,∞).

Dacă $$m\in (-5,27)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$
⇒∃x1∈(-∞,-1),x2∈(-1,3),x3∈(3,∞).

Dacă $$m=27\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$
⇒∃x1∈(-∞,-1),x2=x3=3.

Dacă $$m\in (27,+\infty)\;\;\;\;\;f(-\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(3)\;\;\;\;\;f(+\infty)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$$
⇒∃x1∈(-∞,-1).


Mergi la început