TEST LECŢII

Asimptotele funcţiilor reale

Asimptota orizontală Fie f:ER, ER, unde E conţine un interval de forma (a,+∞).
Definiţie. Se spune că dreapta y=l este asimptotă orizontală la graficul funcţiei spre +∞, dacă lR (există şi este finită), unde $$ l=\lim_{{x\rightarrow+\infty}}f(x). $$ Analog asimptota orizontală spre -∞.
Problema Să se determine asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcţiei $$ f:\mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}+1}. $$ R. Calculăm limita funcţiei spre +∞ $$ \lim_{{x\rightarrow+\infty}}f(x)=\lim_{{x\rightarrow+\infty}}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+1}=1 $$ şi dreapta y=1 este asimptota orizontală spre +∞.
Asimptota verticală Fie f:ER, ER, α∈R punct de acumulare pentru E.
Definiţie. Se spune că dreapta x=α este asimptotă verticală la stânga a lui f, dacă
$$ \lim_{{x\nearrow\alpha}}f(x)=+\infty\; sau\;\lim_{{x\nearrow\alpha}}f(x)=-\infty. $$ Definiţie. Se spune că dreapta x=α este asimptotă verticală la dreapta pentru f, dacă $$ \lim_{{x\searrow\alpha}}f(x)=+\infty\; sau\;\lim_{{x\searrow\alpha}}f(x)=-\infty. $$
Problema Să se determine asimptotele verticale ale funcţiei:              $$ f:D\rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}. $$ R. Aflăm domeniul de definiţie $$ D=\mathbf{R}-\left\{ x\in\mathbf{R|}x^{2}-1=0\right\} =\mathbf{R}-\left\{ -1,1\right\} $$ Căutăm asimptotele verticela în punctele x0=-1 şi x0=1 $$ \lim_{x\nearrow-1}f(x)=\lim_{x\nearrow-1}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty;\lim_{x\searrow-1}f(x)=\lim_{x\searrow-1}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2}{0^{-}}=-\infty $$ dreapta x=-1 este asimptotă verticală. $$ \lim_{{x\nearrow 1}}f(x)=\lim_{{x\nearrow 1}}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty,\;\lim_{{x\searrow 1}}f(x)=\lim_{{x\searrow 1}}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty $$ dreapta x=1 este asimptotă verticală.

Asimptota oblică Fie f:ER, ER, unde E conţine un interval de forma (a,+∞).
Definiţie. Se spune că dreapta y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞ a funcţiei f, dacă şi numai dacă m,nR (m,n sunt finite), unde $$ m=\lim_{{x\rightarrow+\infty}}\frac{f(x)}{x},\; n=\lim_{{x\rightarrow\infty}}(f(x)-mx),\; m\neq0. $$ Analog asimptota oblică spre -∞.
Problema Să se determine asimptota oblică a funcţiei                   $$ f:D\rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}. $$ R. Determinăm domeniul de definiţie $$ x-1\ne 0 \Rightarrow x\ne1 \Rightarrow D=\mathbf{R}-\left\{1\right\} $$ $$ m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{x^{2}+1}{x-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x}=1. $$ $$ n=\lim_{{x\rightarrow\infty}}\left(f(x)-mx\right)=\lim_{{x\rightarrow\infty}}\left(\frac{x^{2}+1}{x-1}-^{x-1)}x\right)=\lim_{{x\rightarrow\infty}}\frac{x^{2}+1-x^{2}+x}{x-1}= $$ $$ =\lim_{{x\rightarrow\infty}}\frac{x+1}{x-1}=1. $$ Asimptota oblică este y=x+1 spre +∞ şi la fel este şi spre -∞.