TEST LECŢII

Funcţia de gradul II

Definiţie. Funcţia $$ f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=ax^{2}+bx+c,\; a,b,c\in\mathbf{R},\; a\neq0 $$ se numeşte funcţia de gradul II.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul II este o parabolă.
               
                      
Dacă a>0 funcţia are un minim, vârful parabolei, V, de coordonate: $$ V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac. $$ Dacă a<0 funcţia are um maxim, vârful parabolei, V, de coordonate: $$ V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac. $$ Problema Se consideră funcţia \(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=mx^{2}-8x-3, m\in \mathbf{R}^{*}.\) Să se determine valorile lui m ştiind că valoarea maximă a funcţiei f este egală cu 5.
R. Dacă funcţia are valoare maximă atunci m<0 şi valoarea maximă este $$y_{max}=-\frac{\Delta}{4a}\Rightarrow-\frac{(-8)^{2}-4\cdot m\cdot(-3)}{4m}=5\Rightarrow-\frac{64+12m^{(4}}{4m}=5\Rightarrow$$ $$ \Rightarrow-\frac{16+3m}{m}=5\Rightarrow16+3m=-5m\Rightarrow8m=-16\Rightarrow m=-2. $$ Intersecţia cu axele de coordonate:
Ox: -dacă Δ≥0, \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\;x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Oy: x=0, y=b.
Problema Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f:R→R, f(x)= -x2+2x+8 cu axa Ox.
R. Punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele de coordonate sunt x1, x2, iar distanţa dintre punctele de intersecţie este |x2-x1|.
Soluţiile ecuaţiei f(x)=0 => -x2+2x+8=0 $$ \Delta=2^{2}-4\cdot(-1)\cdot8=4+32=36,\; x_{1}=\frac{-2-6}{-2}=4,\; x_{2}=\frac{-2+6}{-2}=2. $$ $$ \left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|2-(-4)\right|=|6|=6. $$ Semnul funcţiei de gradul II (tabelul de semn):
          a>0
               a<0
Inecuaţia de gradul II
Se numeşte inecuaţie de gradul II o inecuaţie de forma ax2+bx+c≥0 (≤,0;,>0;,<0).
Rezolvarea inecuaţiei:
1. se rezolvă ecuaţia ataşată, ax2+bx+c=0;
2. se face tabelul de semn;
3. se ia soluţia din tabelul de semn.
Problema Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia x2-5x+5≤1.
R. Transformăm inecuaţia: x2-5x+5-1≤0=>x2-5x+4≤0 şi rezolvăm ecuaţie x2-5x+4=0 $$ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9,\; x_{1}=\frac{5-3}{2}=1,\; x_{2}=\frac{5+3}{2}=4 $$ Tabelul de semn:
          a=1>0   
Soluţia este S=[1;4]∩Z={1,2,3,4}.
Relaţiile lui Viéte
Dacă x1, x2 sunt soluţiile ecuaţiei ax2+bx+c=0, atunci $$ \begin{cases} S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a;}\\ P=x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=S^{2}-2P\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{S}{P} \end{cases} $$ Problema Să se determine mR, ştiind că soluţiile x1, x2 ale ecuaţiei x2-(2m+1)x+3m =0 verifică relaţia x1+x2+x1·x2=11.
R. Din relaţiile lui Viéte avem $$ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=2m+1\\ x_{1}\cdot x_{2}=3m \end{cases}\Rightarrow2m+1+3m=11\Rightarrow5m=10\Rightarrow m=2. $$
Grafice de funcţii cu coeficienţi întregi