TEST LECŢII

Funcţia logaritmică

Definiţie. Fie aR,a>0,a≠0 şi bR,b>0.
Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv b, exponentul la care trebuie ridicat numărul a, numit bază, pentru a obţine numărul b. Logaritmul numărului b în baza a se notează \(\mathbf{\log_{a}b}\).
Proprietăţile logaritmilor
  1. \(a^{\log_{a}b}=b\),
  2. identitatea logaritmică fundamentală;
  3. \(\log_{a}b=\log_{a}c \Rightarrow b=c, (b,c>0);\)
  4. \(\log_{a}a=1;\)
  5. \(\log_{a}1=0;\)
  6. \(\log_{a}a^{c}=c;\log_{a}\frac{1}{b}=-\log_{a}b;\)
  1. \(\log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_{a}b,\;\;(b>0,n\in\mathbf{N},n\geq2);\)
  2. \(\log_{a}b\cdot\log_{b}a=1;\)
  3. \(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}b}\), formula de schimbare a bazei logaritmului;
  4. \(\log_{a}x\cdot y=\log_{a}x+\log_{a}y, x>0,y>0;\)
  5. \(\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y, x>0,y>0;\)
Definiţie. Fie aR,a>0,a≠0. Funcţía \(f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbf{R}, f(x)=\log_{a}x\) se numeşte funcţia logaritmică.
Graficul funcţiei logaritmice
          
          
Proprietăţile funcţiei logaritmice
1. \(f(1)=0,\;\forall x\in(0,+\infty)\);
2. Dacă a>0 funcţia logaritmică este strict crescătoare;
             0<a<1 funcţia logaritmică este strict descrescătoare;
3. Dacă a>0, x<1, atunci \(f(x)<0\);
            a>0, x>1, atunci \(f(x)>0\);
            0<a<1, x<1, atunci \(f(x)>0\);
            0<a<1, x>1, atunci \(f(x)<0\);
4. Funcţia logaritmică este bijectivă
5. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.
Ecuaţii logaritmice
1. Ecuaţia \(log_{a}x=b\) cu a>0 şi bR are soluţia \(x=a^{b}\).
Exemplu: \(log_{2}x=3\implies x=2^{3}=8.\)
2. Ecuaţia \(log_{a}f(x)=log_{a}g(x),(a>0,a\neq 1).\)
Punem condiţile \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}\) şi se obţine domeniul de rezolvabilitate D.
Din injectivitatea funcţiei logaritmice avem \(f(x)=g(x)\) ecuaţie algebrică iar soluţiile trebuie să se găsească în D.
Exemplu: \(log_{3}(3x-1)=log_{3}(2x+1)\).
Condiţii: $$\begin{cases} 3x-1>0 & 3x>1\Rightarrow x>\frac{1}{3}\\2x+1>0 & 2x>-1\Rightarrow x>-\frac{1}{2}\end{cases}$$$$\Rightarrow D=\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$$
Rezolvare: $$ 3x-1=2x+1\Rightarrow3x-2x=1+1\Rightarrow x=2\in D.$$