TEST LECŢII
Progresia aritmetică
Definiţie
Un şir de numere reale (an)n≥1 pentru care fiecare termen, începând cu al doilea,
se obţine din termenul precedent prin adunarea unui număr r, se numeşte progresie aritmetică.
Notăm: a1 - primul termen
r - raţia
an - termenul general
$$
a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r.
$$
Problema. Să se determine primul termen şi raţia unei progresii aritmetice a1,a2,12,16,... .
R. Din a3=12, a4=16 se obţine raţia
$$
r=a_{4}-a_{3}\Rightarrow r=16-12=4\Rightarrow a_{2}=a_{3}-r\Rightarrow a_{2}=12-4=8\Rightarrow
$$
$$
\Rightarrow a_{1}=a_{2}-r\Rightarrow a_{1}=8-4=4.
$$
Teorema 1. Termenul general al unei progresii aritmetice (an)n≥1 de raţie r este dată de formula
an=a1+(n-1)r.
Problema. În progresia aritmetică (an)n≥1, a3=7 şi a6=16. Să se calculeze termenul a20.
R.
Aplicăm formula termenului general:
$$
a_{3}=a_{1}+2\cdot r,\;a_{6}=a_{1}+5\cdot r
$$
şi obţinem sistemul
$$
\begin{cases}
a_{1}+2r=7 & |\cdot(-1)\\
a_{1}+5r=16
\end{cases}\Leftrightarrow
$$
$$
\Leftrightarrow\begin{cases}
-a_{1}-2r=-7\\
a_{1}+5r=16
\end{cases}\Rightarrow3r=9\Rightarrow r=3\Rightarrow a_{1}=1
$$
Termenul de rang 20 este
$$
a_{20}=a_{1}+19\cdot r\Rightarrow a_{20}=1+19\cdot 3=58.
$$
Teorema 2. Şirul (an)n≥1, este progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru orice n∈N,
n≥2 avem (media aritmetică):
$$
a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
$$
Problema. Să se calculeze valoarea lui x∈R pentru care numerele x+1, 1-x şi 4 formează o progresie aritmetică.
R. Dacă numerele x+1, 1-x şi 4 formează o progresie aritmetică, atunci 1-x este media aritmetică
a lui x+1 şi 4:
$$
1-x=\frac{x+1+4}{2}\Leftrightarrow2-2x=x+5\Leftrightarrow $$
$$
\Leftrightarrow -3x=3\Leftrightarrow x=-1.
$$
Lema. Dacă numerele a1, a2,..., an sunt în progresie aritmetică, atunci
$$
a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}, \forall\, k\epsilon\{2,3,...,n-1\}.
$$
Teorema 3. Dacă pentru orice progresie aritmetică (an)n≥1 notăm cu Sn suma primilor n termeni,
adică Sn=a1+a2+...+an, atunci
$$
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}.
$$
Problema. Să se calculeze suma 1+4+7+...+100.
R. Numerele 1,4,7,...,100 formează o progresie aritmetică (a1=1, r=3). Determinăm rangul termenului 100.
$$
a_{n}=100\Leftrightarrow 100=1+(n-1)\cdot 3\Leftrightarrow
$$
$$
\Leftrightarrow 100=1+3n-3\Leftrightarrow 3n=102\Leftrightarrow n=34
$$
Din formula sumei primilor n termeni, avem
$$
S_{34}=\frac{(a_{1}+a_{34})\cdot 34}{2}\Leftrightarrow
$$
$$
\Leftrightarrow S_{34}=\frac{(1+100)\cdot 34}{2}=\frac{3434}{2}=1717.
$$