TEST LECŢII

Progresia aritmetică

        Definiţie
          Un şir de numere reale (an)n≥1 pentru care fiecare termen, începând cu al doilea,
        se obţine din termenul precedent prin adunarea unui număr r, se numeşte progresie aritmetică.
        Notăm: a1 - primul termen
               r - raţia
               an - termenul general
a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r.
Problema. Să se determine primul termen şi raţia unei progresii aritmetice a1,a2,12,16,... . R. Din a3=12, a4=16 se obţine raţia r=a_{4}-a_{3}\Rightarrow r=16-12=4\Rightarrow a_{2}=a_{3}-r\Rightarrow a_{2}=12-4=8\Rightarrow
\Rightarrow a_{1}=a_{2}-r\Rightarrow a_{1}=8-4=4.
Teorema 1. Termenul general al unei progresii aritmetice (an)n≥1 de raţie r este dată de formula
an=a1+(n-1)r.
Problema. În progresia aritmetică (an)n≥1, a3=7 şi a6=16. Să se calculeze termenul a20. R. Aplicăm formula termenului general:
a_{3}=a_{1}+2\cdot r,\;a_{6}=a_{1}+5\cdot r
şi obţinem sistemul
\begin{cases} a_{1}+2r=7 & |\cdot(-1)\\ a_{1}+5r=16 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} -a_{1}-2r=-7\\ a_{1}+5r=16 \end{cases}\Rightarrow3r=9\Rightarrow r=3\Rightarrow a_{1}=1
Termenul de rang 20 este
a_{20}=a_{1}+19\cdot r\Rightarrow a_{20}=1+19\cdot 3=58.
Teorema 2. Şirul (an)n≥1, este progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru orice nN, n≥2 avem (media aritmetică):
a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
Problema. Să se calculeze valoarea lui xR pentru care numerele x+1, 1-x şi 4 formează o progresie aritmetică. R. Dacă numerele x+1, 1-x şi 4 formează o progresie aritmetică, atunci 1-x este media aritmetică a lui x+1 şi 4:
1-x=\frac{x+1+4}{2}\Leftrightarrow2-2x=x+5\Leftrightarrow-3x=3\Leftrightarrow x=-1.
Lema. Dacă numerele a1, a2,..., an sunt în progresie aritmetică, atunci
a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}, \forall\, k\epsilon\{2,3,...,n-1\}.
Teorema 3. Dacă pentru orice progresie aritmetică (an)n≥1 notăm cu Sn suma primilor n termeni, adică Sn=a1+a2+...+an, atunci
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}.
Problema. Să se calculeze suma 1+4+7+...+100. R. Numerele 1,4,7,...,100 formează o progresie aritmetică (a1=1, r=3). Determinăm rangul termenului 100.
a_{n}=100\Leftrightarrow 100=1+(n-1)\cdot 3\Leftrightarrow 100=1+3n-3\Leftrightarrow 3n=102\Leftrightarrow n=34
Din formula sumei primilor n termeni, avem
S_{34}=\frac{(a_{1}+a_{34})\cdot 34}{2}\Leftrightarrow S_{34}=\frac{(1+100)\cdot 34}{2}=\frac{3434}{2}=1717.