TEST LECŢII

Progresia geometrică

  
         Definiţie
            Se numeşte progresie geometrică un şir de numere (bn)n≥1 în care fiecare termen, 
              începând cu al doilea, se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu 
              un acelaşi număr q (q≠0) numit raţie. Se noteazã ÷b1,b2,b3,...ab,...
            
            Notăm: - b1 primul termen, 
                   - bn cel de-al n-lea termen (termenul general), 
                   - q raţia, n numãrul termenilor.
         Problema  Să se calculeze primul termen al progresiei geometrice b1,b2,24,36,... .
         R Avem b3=24, b4=36 şi
b_{4}=b_{3}\cdot q \Rightarrow q=\frac{b_{4}}{b_{3}}\Rightarrow q=\frac{24^{(12}}{36}=\frac{3}{2}.
Calculăm b2 şi apoi b1:
b_{2}=b_{3}:q\Rightarrow b_{2}=24:\frac{3}{2}=24\cdot\frac{2}{3}=16.
b_{1}=b_{2}:q\Rightarrow b_{1}=16:\frac{3}{2}=16\cdot\frac{2}{3}=\frac{32}{3}.
Termenul general se obţine din primul termen şi raţie
b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1},\;\forall n\geq2.
Problema Să se determine primul termen şi raţia progresiei geometrice în care
\begin{cases} b_{2}-b_{1}=-4\\ b_{3}-b_{1}=8 \end{cases}
R. Din formula termenului general rezultă că b2=b1·q şi b3=b1·q2, astfel
\begin{cases} b_{1}\cdot q-b_{1}=-4\\ b_{1}\cdot q^{2}-b_{1}=8 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} b_{1}\cdot(q-1)=-4\\ b_{1}\cdot(q^{2}-1)=8 \end{cases}\overset{impartire}{\Rightarrow}\frac{q-1}{q^{2}-1}=\frac{-4}{8}
\Rightarrow\frac{1}{q+1}=-\frac{1}{2}\Rightarrow q+1=-2\Rightarrow q=-3,
şi calculăm primul termen b1·(-3-1)=-4=>b1=1. Proprietatea de medie Orice termen al unei progresii geometrice, începând cu al doilea, este media geometrică (proporţională) a termenilor vecini lui.
b_{k}=\sqrt{b_{k-1}\cdot b_{k+1}}\Leftrightarrow b_{k}^{2}=b_{k-1}\cdot b_{k+1}.
Problema Să se determine numărul real pozitiv x ştiind că numerele x,6 şi x-5 formează o progresie geometrică. R. Dacă numerele x,6 şi x-5 formează o progresie geometrică, atunci
6^{2}=x(x-5)\Leftrightarrow 36=x^{2}-5x\Leftrightarrow x^{2}-5x-36=0,
ecuaţie de gradul II cu soluţiile x1=-4 şi x2=9. Din condiţia x>0 => x=9. Suma primilor n termeni. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice (bn)n≥1 este dată de formula:
daca\;q\neq 1: S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}=\frac{q^{n}-1}{q-1},\;\forall n\geq 1
daca\;q= 1: S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}=n\cdot b_{1},\;\forall n\geq 1
Problema Să se calculeze suma
S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{100}}
R. Suma reprezinta suma primilor 101 termeni ai unei progresii geometrice în care b=1, q=1/2.
S=S_{101}=1\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{101}-1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{101}-1}{-\frac{1}{2}}=2\cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{101}\right].