Test integrala definită

Nume:    Prenume:    Clasa:    E-mail: 

Rezolvaţi exerciţiile şi apoi alegeţi răspunsul ... Succes!

1. Se consideră funcţia \( f:[1,+\infty)\rightarrow\mathbf{R},\; f(x)=\frac{1}{x(1+\ln x)}.\)
Să se calculeze \( I=\intop_{1}^{e}f'(x)dx.\)
\( I=2e-1\)    \( I=\frac{1}{2e}-1\)   \( I=\frac{1}{e}\)    \( I=0\)

2. Se consideră funcţia \( f:[0,1]\rightarrow\mathbf{R},\; f(x)=e^{x}\sqrt{x^{2}+1}.\)
Să se calculeze \( I=\intop_{0}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}.\)
\( I=e-1\)   \( I=e\)   \( I=1\)   \( I=2e-1\)

3. Se consideră funcţia \( f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\; f(x)=x^{2}+e^{x}+1.\)
Să se calculeze \( I=\intop_{0}^{1} xf(x)dx.\)
\( I=e\)   \( I=\frac{e}{4}\)   \( I=\frac{7}{4}\)   \( I=e+1\)

4. Se consideră funcţia \( f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbf{R},\; f(x)=\frac{\ln x}{x}+x \)
Să se calculeze \( I=\intop_{1}^{e}f(x)dx.\)
\( I=\frac{e^{2}}{2}\)   \( I=\frac{e}{2}\)   \( I=\frac{e}{2}-1\)   \( I=\frac{e^{2}}{2}+1\)

                        5. Se consideră funcţia \( g:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\; g(x)=(x+1)^{3}-3x^{2}-1\)
Să se calculeze \( I=\intop_{0}^{1}g(x)dx.\)
\( I=\frac{4}{3}\)   \( I=\frac{4}{7}\)   \( I=\frac{3}{4}\)   \( I=\frac{7}{4}\)

6. Se consideră funcţia \( g:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R},\; g(x)=(x+1)^{3}-3x^{2}-1\)
Să se determine numărul a>1 astfel încât \( \intop_{1}^{a}\left(g(x)-x^{3}\right)dx=6e^{a}.\)
a=1    a=2   a=3   a=4

7. Se consideră funcţiile \( f_{m}:[0,1]\rightarrow\mathbf{R},\; f_{m}(x)=mx^{2}+(m^{2}-m+1)x+1\), unde mR.
Să se calculeze \( \intop_{0}^{1}e^{x}f_{0}(x)dx.\)
2e   1-e   e-1   e

8. Se consideră funcţiile \( f_{m}:[0,1]\rightarrow\mathbf{R},\; f_{m}(x)=mx^{2}+(m^{2}-m+1)x+1\), unde mR.
Să se determine mR* astfel încât\( \intop_{0}^{1} f_{m}(x)dx=\frac{3}{2}.\)
\( m=\frac{3}{4}\)    \( m=\frac{3}{5}\)    \( m=\frac{4}{5}\)    \( m=\frac{5}{4}\)