TEST LECŢII

Trigonometrie

   
          1. Măsura unghiurilor în radiani      
           Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerc este constant şi se notează
            prin π (π≈3,1415).
           Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprinzând un arc de cerc a cărui lungime
            este egală cu raza cercului este de 1 radian.
            Observaţie.Dacă α este măsura unui unghi în grade, iar xr este măsura unghiului în radiani,
              atunci este adevărată relaţia: \frac{\alpha}{x_{r}}=\frac{180}{\pi}  
           2. Cercul trigonometric
           Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centru în O şi raza egală cu 1 pe care 
            este indicat sensul trigonometric direct (invers mersului acelor ceasornicului) 
            se numeşte cercul trigonometric.
           Notaţie. Fie tR un număr real. Atunci există un unic punct Pt pe 
            cercul trigonometric pentru care m(\hat{AOP_{t}})=t. 
             

Corespondenţa între axa numerelor şi cercul trigonometric
3. Sinus şi cosinus Fie t un număr real şi Pt punctul pentru care m(\hat{AOP_{t}})=t. Definiţie. Ordonata punctului Pt se numeşte sinusul numărului real t şi se notează prin sint. Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul numărului real t şi se notează prin cost .

Funcţia sinus şi cercul trigonometric

Funcţia cosinus şi cercul trigonometric
4. Tangenta şi cotangenta Definiţie. Fie t\in\mathbf{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\} . Se numeşte tangenta numărului real t raportul dintre sinusul şi cosinusul acelui număr tg\, t=\frac{\sin t}{\cos t}. Definiţie. Fie t\in\mathbf{R}-\left\{ k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\} . Se numeşte cotangenta numărului real t raportul dintre cosinusul şi sinusul acelui număr ctg\, t=\frac{\cos t}{\sin t}.

Funcţia tangentă şi cercul trigonometric
Valori remarcabile
x0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{3\pi}{4} \frac{5\pi}{6} \pi
sinx0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
cosx1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -1
tgx0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} | -\sqrt{3} -1 -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{3}
Reducerea la primul cadran
x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right), cadran II       x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right), cadran III       x\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right), cadran IV
\sin x=\sin(\pi-x)\sin x=-\sin(x-\pi)\sin x=-\sin(2\pi-x)
\cos x=-\cos(\pi-x)\cos x=-\cos(x-\pi)\cos x=\cos(2\pi-x)
tg\,x=-tg(\pi-x)tg\,x=tg(x-\pi)tg\,x=-tg(2\pi-x)
Semnul funcţiilor Monotonia funcţiilor
xI   II   III   IV
                      
I   II   III   IV
sinx++++sinx\nearrow\searrow \searrow \nearrow
cosx+--+cosx\searrow\searrow \nearrow \nearrow
tgx+--+tgx\nearrow\nearrow \nearrow \nearrow
Formule trigonometrice fundamentale
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 (formula fundamentală)   tg\,x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{ctg\,x}
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \sin(-x)=-\sin x       \sin(x+2\pi)=\sin x
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \cos(-x)=-\cos x       \cos(x+2\pi)=\cosx
tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=ctg\,x tg(-x)=-tg\,x       tg(x+\pi)=tg\,x
5. Funcţii trigonometrice inverse ♦Funcţia \sin:{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow}\left[-1,1\right] este funcţie bijectivă şi deci inversabilă. Definiţie. Funcţia \arcsin:\left[-1,1\right]\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] astfel încât \arcsin y=x\Leftrightarrow\sin x=y este inversa funcţiei sinus. Proprietăţi\sin(\arcsin x)=x, \forall x\in [-1,1] \arcsin(\sin x)=x, \forall x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] ♦Funcţia \cos:{\left[0,\pi\right]\rightarrow}\left[-1,1\right] este funcţie bijectivă şi deci inversabilă. Definiţie. Funcţia \arccos:\left[-1,1\right]\rightarrow\left[0,\pi\right] astfel încât \arccos y=x\Leftrightarrow\cos x=y este inversa funcţiei cosinus. Proprietăţi\cos(\arccos x)=x, \forall x\in [-1,1] \arccos(\cos x)=x, \forall x\in \left[0,\pi}\right] ♦Funcţia tg:$$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\rightarrow\mathbf{R} este funcţie bijectivă şi deci inversabilă. Definiţie. Funcţia arctg:\mathbf{R}\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] astfel încât arctg\,y=x\Leftrightarrow\tg\,x=y este inversa funcţiei tangenta. Proprietăţitg(arctg\,x)=x, \forall x\in \mathbf{R} arctg(tg\,x)=x, \forall x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]
Funcţii trigonometrice inverse Valori remarcabile
x-1    -\frac{\sqrt{3}}{2}    -\frac{\sqrt{2}}{2}    -\frac{1}{2}    0    \frac{1}{2}    \frac{\sqrt{2}}{2}    \frac{\sqrt{3}}{2}    1
arcsinx-\frac{\pi}{2}   -\frac{\pi}{3}    -\frac{\pi}{4}    -\frac{\pi}{6}    1    \frac{\pi}{6}    \frac{\pi}{4}    \frac{\pi}{3}    \frac{\pi}{2}
arccosx\pi    \frac{5\pi}{6}    \frac{3\pi}{4}    \frac{2\pi}{3}    \frac{\pi}{2}    \frac{\pi}{3}    \frac{\pi}{4}    \frac{\pi}{6}     0
6. Ecuaţii trigonometrice Ecuaţii trigonometrice fundamentale Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei sinx=a este •S=\left\{(-1)^{k} \arcsin a+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}, dacă a\in [-1,1]. S=\textrm{\O}, dacă a\notin[-1,1]. Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cosx=a este •S=\left\{\pm \arccos a+2k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}, dacă a\in [-1,1]. S=\textrm{\O}, dacă a\notin[-1,1]. Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei tgx=a este •S=\left\{arctg\,a+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}.