Bacalaureat matematică 2020 ştiinţele naturii

Subiectul al II-lea

Rezolvare prof. Virgil-Mihail Zaharia

1. Se consideră matricea \(A(a,b)=\left(\begin{matrix} a & 2b \\ -b & a \end{matrix} \right) \) unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale.
   a. Arătaţi că \(\det ( A(1,1)) = 3\). Rezolvare
   b. Demonstraţi că \(A(a,b)\cdot A(b,a) = A(-ab,a^2 + b^2 )\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\) . Rezolvare
   c. Determinați perechile de numere întregi \(m\) și \(n\) pentru care \(\det ( A(m,n)) =1\). Rezolvare

2. Se consideră polinomul \(f = X^3 -15X^2 + mX - 80\), unde \(m\) este număr real.
   a. Pentru \(m = 95\) , arătaţi că \(f (1) =1\). Rezolvare
   b. Determinaţi numărul real \(m\) pentru care \(x_1(x_1- x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0\),
       unde \(x_1, x_2\) şi \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\) . Rezolvare
   c. Determinaţi rădăcinile polinomului \(f\), ştiind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică. Rezolvare

Subiectul I      Subiectul al III-lea