Binomul lui Newton

Pentru a avea succes în învățare este necesară folosirea caietului de notițe.
Formulele prezentate trebuie notate pe caiet pentru utilizare în exerciții.

Scopul acestei lecții este de a prezenta formula pentru \((a+b)^n, a,b\in \mathbf C, n \in \mathbf N^*\) precum și proprietăți pentru coeficienții termenilor din dezvoltarea acestui binom.

Obiective

Elevii trebuie:
1. Să ştie care este formula binomului lui Newton şi cum să o poată utiliza;
2. Să aplice formula binomului lui Newton în calcule;
3. Să cunoască şi să aplice formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton;
4. Să demonstreze egalităţi şi inegalităţi utilizând binomul lui Newton.

Formule necesare

1. \(n!=1\cdot2\cdot3...\cdot(n-1), n\in \mathbf N^*,\; 0!=1,\; 1!=1\)
2. \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\);\(A_n^k=(n-k+1)A_n^{k-1}\), \(n,k\in\mathbf N^*, k\leq n\)
3. \(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\);\(C_n^k=C_n^{n-k}\);\(C_n^1=n;\;C_n^n=1\), \(n,k\in\mathbf N^*, k\leq n\)
4. \(C_n^{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\cdot C_n^k\); \(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)
5. \(a^n\cdot a^m=a^{m+n}\); \(a^n:a^m=a^{n-m}\); \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)
6. \(\sqrt a=a^{1 \over 2}\); \(\sqrt{a^3}=a^{3 \over 2}\); \(\sqrt[3] a=a^{1\over 3}\); \(\sqrt[3] {a^2}=a^{2\over 3}\)