TEST      LECŢII

Funcţia exponenţială

Definiţie. Fie a>0, a≠1. Funcţia $$ f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=a^{x}. $$ se numeşte funcţia exponenţială de bază a.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei exponenţiale este curba exponenţială.
Proprietăţi
         1) f(0)=a0=1, graficul funcţiei taie axa Oy în punctul (0,1).
         2) Funcţia exponenţială este convexă.
         3) Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare;
                dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare.
         4) Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1;
                                x<0 atunci f(x)<1;
                        0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1;
                                x<0 atunci f(x)>1.
        5) Funcţia exponenţială este bijectivă.
Problema Să se ordoneze crescător numerele: $$ 3^{2},3^{\sqrt{2}},3^{-2,1},3^{1,4}. $$ R. Fie funcţia exponenţială $$ f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=3^{x}. $$ f este funcţie strict crescătoare, are baza 3>1. Funcţie strict crescătoare: x1<x2=>f(x1)<f(x2) Ordonăm crescător exponenţii şi din monotonie obţinem ordonarea puterilor: $$ -2,1 < 1,4 < \sqrt{2} < 2 \Rightarrow f(2,1) < f(1,4) < f( \sqrt{2}) < f(2) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3^{-2,1} < 3^{1,4} < 3^{ \sqrt{2} } < 3^{2}. $$

Ecuaţii exponenţiale

Definiţie. O ecuaţie în care necunoscuta este la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială.
Tipuri de ecuaţii exponenţiale:
\( \;\;I.\;\;a^{f(x)}=b,\;a>0,a\neq 1. \) Ecuaţia are soluţie dacă b>0.
Prin logaritmarea ambilor membrii ai ecuaţiei se obţine: $$ \log_{a}{a^{f(x)}}=\log_{a}{b} $$ care este ecuaţie algebrică şi de aici obţinem soluţia.
Problema Să se rezolve ecuaţia: 2x=8.
        R. log22x=log28 =>x=3.
\( \;\;II.\;\;a^{f(x)}=a^{g(x)},\;a>0,a\neq 1. \) Din injectivitatea funcţiei exponenţiale se obţine ecuaţia echivalentă: f(x)=g(x), ecuaţie algebrică.
Problema Să se rezolve ecuaţia: $$ 3^{2x-1}=\sqrt{3^{x}}. $$ R. $$ 3^{2x-1}=3^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow 2x-1=\frac{x}{2} \Leftrightarrow 4x-2=x \Leftrightarrow 3x=2 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}. $$ \( \;\;III.\;\;c_{1}a^{2f(x)}+c_{2}a^{f(x)}+c_{3}=0,\;a>0,a\neq 1. \) Ecuaţiile de acest tip se rezolvă prin substituţie. Notăm af(x)=y>0 şi se obţine ecuaţia de gradul II c1y2+c2y+c3=0.
Problema Să se rezolve ecuaţia $$ 3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{x}+2=0. $$ R. Notăm 2x=y şi se obţine ecuaţia de gradul II 3y2-2y+2=0 cu soluţiile $$ y_{1}=1,\;y_{2}=\frac{2}{3}. $$ Revenim la substituţie şi se rezolvă ecuaţiile: $$ 2^{x}=1 \Leftrightarrow x_{1}=0 $$ $$ 2^{x}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{2}=\log_{2}\frac{2}{3} $$ $$ S=\big\{0,\log_{2}\frac{2}{3} \big\}. $$