Exercitiul 1.

1. Să se demonstreze egalitatea: \(1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n \in \mathbf N^*\)
Soluţie. \begin{align} &\cssId{Step1}{I. Etapa\; de\; verificare:}\\ &\cssId{Step2}{ P(1):1=\frac{1(1+1)}{2}\Leftrightarrow 1=1\;"A"}\\ &\cssId{Step3}{II. Etapa\; de\; demonstraţie:\; Presupunem\; adevărată}\\ &\cssId{Step4}{P(k):1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}}\\ &\cssId{Step5}{şi\; demonstrăm\; P(k+1): 1+2+3+...+k+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}?}\\ &\cssId{Step6}{P(k+1): \underbrace{1+2+3+...+k}_{P(k)} +k+1=}\\ &\cssId{Step7}{=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=}\\ &\cssId{Step8}{=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\Rightarrow P(k+1)"A"}\\ &\cssId{Step9}{Din\; I.\; şi\; II.\;\Rightarrow P(n)"A", \forall n \in \mathbf N^*}\\ \end{align}