4. Să se demonstreze că \(n^3+11n\) se divide cu 6, \(\forall n \in \mathbf N\). Soluţie. \begin{align} &\cssId{Step1}{\mathbf {Soluţie}}\\ &\cssId{Step2}{I. Etapa\; de\; verificare:}\\ &\cssId{Step3}{ Pentru\; n=0\Rightarrow 0\vdots 6 "A" }\\ &\cssId{Step4}{II. Etapa\; de\; demonstraţie:\; Presupunem\; adevărată}\\ &\cssId{Step5}{k^3+11k)\vdots 6, k\in \mathbf N\; şi\; demonstrăm \;((k+1)^3+11(k+1))\vdots 6,\;\; k\in \mathbf N}\\ &\cssId{Step6}{Din \;(k^3+11k)\vdots 6 \Rightarrow \exists p\in \mathbf N \; astfel\; încât \;k^3+11k=p}\\ &\cssId{Step7}{Atunci \;(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+14k+12=k^3+11k+3k^2+3k+12=6p+12+3k(k+1)}\\ &\cssId{Step8}{(k(k+1)\; este\; număr\; par\; şi \;3k(k+1)\; este\; multiplu\; de\;6}\\ &\cssId{Step9}{\Rightarrow(k+1)^3+11(k+1)=6p+6b+12\; multiplu\; de\; 6 \Rightarrow P(k+1)\;"A"}\\ &\cssId{Step10}{Din\; I.\; şi\; II.\;\Rightarrow P(n)"A", \forall n \in \mathbf N}\\ \end{align}