TEST      LECŢII

Trigonometrie

1. Măsura unghiurilor în radiani
Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerc este constant şi se notează prin π (π≈3,1415).
Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprinzând un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului este de 1 radian.
Observaţie.Dacă α este măsura unui unghi în grade, iar xr este măsura unghiului în radiani, atunci este adevărată relaţia: \(\frac{\alpha}{x_{r}}=\frac{180}{\pi} \)
2. Cercul trigonometric
Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centru în O şi raza egală cu 1 pe care este indicat sensul trigonometric direct (invers mersului acelor ceasornicului) se numeşte cercul trigonometric.
Notaţie. Fie t∈R un număr real. Atunci există un unic punct Pt pe cercul trigonometric pentru care \(m(\hat{AOP_{t}})=t. \)

Corespondenţa între axa numerelor şi cercul trigonometric
3. Sinus şi cosinus
Fie t un număr real şi Pt punctul pentru care \(m(\hat{AOP_{t}})=t. \)
Definiţie. Ordonata punctului Pt se numeşte sinusul numărului real t şi se notează prin sint.
Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul numărului real t şi se notează prin cost .

Funcţia sinus şi cercul trigonometric
Funcţia cosinus şi cercul trigonometric

4. Tangenta şi cotangenta
Definiţie. Fie \(t\in\mathbf{R}-\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\} \). Se numeşte tangenta numărului real t raportul dintre sinusul şi cosinusul acelui număr \(tg\, t=\frac{\sin t}{\cos t}. \)
Definiţie. Fie \(t\in\mathbf{R}-\left\{ k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\} \). Se numeşte cotangenta numărului real t raportul dintre cosinusul şi sinusul acelui număr \(ctg\, t=\frac{\cos t}{\sin t}. \)

Funcţia tangentă şi cercul trigonometric
Valori remarcabile
x\(0 \)\(\frac{\pi}{6} \)\(\frac{\pi}{4} \)\(\frac{\pi}{3} \)\(\frac{\pi}{2} \)\(\frac{2\pi}{3} \)\(\frac{3\pi}{4} \)\(\frac{5\pi}{6} \)\(\pi \)
sinx\(0 \)\(\frac{1}{2} \)\(\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(\frac{\sqrt{3}}{2} \)\(1 \)\(\frac{\sqrt{3}}{2} \)\(\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(\frac{1}{2} \)\(0 \)
cosx\(1 \)\(\frac{\sqrt{3}}{2} \)\(\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(\frac{1}{2} \)\(0 \)\(-\frac{1}{2} \)\(-\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(-\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(-1 \)
tgx\(0 \)\(\frac{\sqrt{3}}{3} \)\(1 \)\(\sqrt{3} \)\(| \)\(-\sqrt{3} \)\(-1 \)\(-\frac{\sqrt{2}}{2} \)\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Reducerea la primul cadran
\(x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\), cadran II       \(x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\), cadran III       \(x\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\), cadran IV
\(\sin x=\sin(\pi-x)\)\(\sin x=-\sin(x-\pi)\)\(\sin x=-\sin(2\pi-x)
\(\cos x=-\cos(\pi-x)\)\(\cos x=-\cos(x-\pi)\)\(\cos x=\cos(2\pi-x)\)
\(tg\,x=-tg(\pi-x)\)\(tg\,x=tg(x-\pi)\)\(tg\,x=-tg(2\pi-x)\)
Semnul şi monotonia funcţiilor

xI   II   III   IV
I   II   III   IV
sinx++++sinx\(\nearrow\)\(\searrow \)\(\searrow \)\(\nearrow \)
cosx+--+cosx\(\searrow\)\(\searrow \)\(\nearrow \)\(\nearrow \)
tgx+--+tgx\(\nearrow\)\(\nearrow \)\(\nearrow \)\(\nearrow \)
Formule trigonometrice fundamentale
\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \) (formula fundamentală)   \(tg\,x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{ctg\,x} \)
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \)\(\sin(-x)=-\sin x \)      \(\sin(x+2\pi)=\sin x \)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \)\(\cos(-x)=-\cos x \)      \(\cos(x+2\pi)=\cos x \)
\(tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=ctg\,x \)\(tg(-x)=-tg\,x \)      \(tg(x+\pi)=tg\,x \)
5. Funcţii trigonometrice inverse
♦Funcţia \(\sin:{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow}\left[-1,1\right] \)este funcţie bijectivă şi deci inversabilă.
      Definiţie. Funcţia \(\arcsin:\left[-1,1\right]\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \) astfel încât \(\arcsin y=x\Leftrightarrow\sin x=y \) este inversa funcţiei sinus.
Proprietăţi
            •\(\sin(\arcsin x)=x, \forall x\in [-1,1] \)
            •\(\arcsin(\sin x)=x, \forall x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \)
♦Funcţia \(\cos:{\left[0,\pi\right]\rightarrow}\left[-1,1\right] \)este funcţie bijectivă şi deci inversabilă.
      Definiţie. Funcţia \(\arccos:\left[-1,1\right]\rightarrow\left[0,\pi\right] \) astfel încât \(\arccos y=x\Leftrightarrow\cos x=y \) este inversa funcţiei cosinus.
Proprietăţi
            •\(\cos(\arccos x)=x, \forall x\in [-1,1] \)
            •\(\arccos(\cos x)=x,\forall x\in \left[0,\pi\right]\)
♦Funcţia \(tg:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\rightarrow\mathbf{R} \) este funcţie bijectivă şi deci inversabilă.
      Definiţie. Funcţia \(arctg:\mathbf{R}\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \) astfel încât arctg y=x\(\Leftrightarrow\)tg x=y este inversa funcţiei tangenta.
Proprietăţi
            •\(tg(arctg\,x)=x, \forall x\in \mathbf{R} \)
            •\( arctg(tg\,x)=x, \forall x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \)

Funcţii trigonometrice inverse
Valori remarcabile
x\(-1 \)   \(-\frac{\sqrt{3}}{2} \)   \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \)   \(-\frac{1}{2} \)   \(0 \)   \(\frac{1}{2} \)   \(\frac{\sqrt{2}}{2} \)   \(\frac{\sqrt{3}}{2} \)   \(1 \)
arcsinx\(-\frac{\pi}{2}\)   \(-\frac{\pi}{3} \)   \(-\frac{\pi}{4} \)   \(-\frac{\pi}{6} \)   \(1 \)   \(\frac{\pi}{6} \)   \(\frac{\pi}{4} \)   \(\frac{\pi}{3} \)   \(\frac{\pi}{2}\)
arccosx\(\pi \)   \(\frac{5\pi}{6} \)   \(\frac{3\pi}{4} \)   \(\frac{2\pi}{3} \)   \(\frac{\pi}{2} \)   \(\frac{\pi}{3} \)   \(\frac{\pi}{4} \)   \(\frac{\pi}{6} \)    \(0 \)
6. Ecuaţii trigonometrice
Ecuaţii trigonometrice fundamentale
Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei sinx=a este
      •\(S=\left\{(-1)^{k} \arcsin a+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}, \)dacă \(a\in [-1,1]. \)
      •\(S=\varnothing, \)dacă \(a\notin[-1,1]. \)
Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cosx=a este
      •\(S=\left\{\pm \arccos a+2k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}, \)dacă \(a\in [-1,1]. \)
      •\(S=\varnothing, \)dacă \(a\notin[-1,1]. \)
Teoremă Mulţimea soluţiilor ecuaţiei tgx=a este
      •\(S=\left\{arctg\,a+k\pi|k\in\mathbf{Z}\right\}.\)