Se rezolvă exercițiul și apoi se alege răspunsul corect.
Funcţia exponenţială
Definiţie. Fie a>0, a≠1. Funcţia $$f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=a^{x}.$$ se numeşte funcţia exponenţială de bază a.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei exponenţiale este curba exponenţială.
Graficul functiei \(2^{x}\)
Graficul functiei \(\frac{1}{2}^{x}\)
Proprietăţi
1) f(0)=a0=1, graficul funcţiei taie axa Oy în punctul (0,1).
2) Funcţia exponenţială este convexă.
3) Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare;
dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare.
4) Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1;
x<0 atunci f(x)<1;
0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1;
x<0 atunci f(x)>1.
5) Funcţia exponenţială este bijectivă.
Problema Să se ordoneze crescător numerele: $$3^{2},3^{\sqrt{2}},3^{-2,1},3^{1,4}.$$ R. Fie funcţia exponenţială $$f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=3^{x}.$$ f este funcţie strict crescătoare, are baza 3>1. Funcţie strict crescătoare: x1<x2=>f(x1)<f(x2) Ordonăm crescător exponenţii şi din monotonie obţinem ordonarea puterilor: $$-2,1 < 1,4 < \sqrt{2} < 2 \Rightarrow f(2,1) < f(1,4) < f( \sqrt{2}) < f(2) \Rightarrow $$ $$\Rightarrow 3^{-2,1} < 3^{1,4} < 3^{ \sqrt{2} } < 3^{2}.$$
Ecuaţii exponenţiale
Definiţie. O ecuaţie în care necunoscuta este la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială. Tipuri de ecuaţii exponenţiale: \(\;\;I.\;\;a^{f(x)}=b,\;a>0,a\neq 1.\) Ecuaţia are soluţie dacă b>0. Prin logaritmarea ambilor membrii ai ecuaţiei se obţine: $$\log_{a}{a^{f(x)}}=\log_{a}{b}$$ care este ecuaţie algebrică şi de aici obţinem soluţia. Problema Să se rezolve ecuaţia: 2x=8. R. log22x=log28 =>x=3. \( \;\;II.\;\;a^{f(x)}=a^{g(x)},\;a>0,a\neq 1.\) Din injectivitatea funcţiei exponenţiale se obţine ecuaţia echivalentă: f(x)=g(x), ecuaţie algebrică.
Problema Să se rezolve ecuaţia: $$ 3^{2x-1}=\sqrt{3^{x}}.$$ R. $$3^{2x-1}=3^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow 2x-1=\frac{x}{2} \Leftrightarrow 4x-2=x \Leftrightarrow 3x=2 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}.$$ \(\;\;III.\;\;c_{1}a^{2f(x)}+c_{2}a^{f(x)}+c_{3}=0,\;a>0,a\neq 1.\) Ecuaţiile de acest tip se rezolvă prin substituţie. Notăm af(x)=y>0 şi se obţine ecuaţia de gradul II c1y2+c2y+c3=0.
Problema Să se rezolve ecuaţia $$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{x}+2=0.$$ R. Notăm 2x=y şi se obţine ecuaţia de gradul II 3y2-2y+2=0 cu soluţiile $$ y_{1}=1,\;y_{2}=\frac{2}{3}.$$ Revenim la substituţie şi se rezolvă ecuaţiile: $$2^{x}=1 \Leftrightarrow x_{1}=0$$ $$2^{x}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{2}=\log_{2}\frac{2}{3}$$ $$S=\big\{0,\log_{2}\frac{2}{3} \big\}.$$
Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}\)=117.
x=0
x=2
x=3
x=-1
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(5^{x}+ 5^{x+1}=30\) .
x=0
x=1
x=2
x=-1
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(2019^{x}+2019^{-x}=2\).
x=0
x=1
x=2
x=-1
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(5^{x+1}- 3\cdot5^{x}=2\).