Funcţia exponenţială
Definiţie. Fie \(a>0, a\ne 1\). Funcţia $$f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=a^{x}.$$ se numeşte funcţia exponenţială de bază a.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei exponenţiale este curba exponenţială.
| Graficul functiei \(2^{x}\) | Graficul functiei \(\frac{1}{2}^{x}\) | |
|---|---|---|
 |  |
Proprietăţi
1) f(0)=a0=1, graficul funcţiei taie axa Oy în punctul (0,1).
2) Funcţia exponenţială este convexă.
3) Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare;
dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare.
4) Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1;
x<0 atunci f(x)<1;
0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1;
x<0 atunci f(x)>1.
5) Funcţia exponenţială este bijectivă.
Problema Să se ordoneze crescător numerele: $$3^{2},3^{\sqrt{2}},3^{-2,1},3^{1,4}.$$
R. Fie funcţia exponenţială $$f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=3^{x}.$$ f este funcţie strict crescătoare, are baza 3>1. Funcţie strict crescătoare: x1<x2=>f(x1)<f(x2)
Ordonăm crescător exponenţii şi din monotonie obţinem ordonarea puterilor: $$-2,1 < 1,4 < \sqrt{2} < 2 \Rightarrow f(2,1) < f(1,4) < f( \sqrt{2}) < f(2) \Rightarrow $$ $$\Rightarrow 3^{-2,1} < 3^{1,4} < 3^{ \sqrt{2} } < 3^{2}.$$
Ecuaţii exponenţiale
Definiţie. O ecuaţie în care necunoscuta este la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială.
Tipuri de ecuaţii exponenţiale:
\(\;\;I.\;\;a^{f(x)}=b,\;a>0,a\neq 1.\)
Ecuaţia are soluţie dacă b>0.
Prin logaritmarea ambilor membrii ai ecuaţiei se obţine: $$\log_{a}{a^{f(x)}}=\log_{a}{b}$$ care este ecuaţie algebrică şi de aici obţinem soluţia.
Problema Să se rezolve ecuaţia: 2x=8.
R. log22x=log28 =>x=3.
\( \;\;II.\;\;a^{f(x)}=a^{g(x)},\;a>0,a\neq 1.\)
Din injectivitatea funcţiei exponenţiale se obţine ecuaţia echivalentă: f(x)=g(x), ecuaţie algebrică.
Problema Să se rezolve ecuaţia: $$ 3^{2x-1}=\sqrt{3^{x}}.$$
R. $$3^{2x-1}=3^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow 2x-1=\frac{x}{2} \Leftrightarrow 4x-2=x \Leftrightarrow 3x=2 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}.$$
\(\;\;III.\;\;c_{1}a^{2f(x)}+c_{2}a^{f(x)}+c_{3}=0,\;a>0,a\neq 1.\)
Ecuaţiile de acest tip se rezolvă prin substituţie. Notăm af(x)=y>0 şi se obţine ecuaţia de gradul al II-lea: c1y2+c2y+c3=0.
Problema Să se rezolve ecuaţia $$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{x}+2=0.$$
R. Notăm 2x=y şi se obţine ecuaţia de gradul al II-lea: 3y2-2y+2=0 cu soluţiile
$$ y_{1}=1,\;y_{2}=\frac{2}{3}.$$ Revenim la substituţie şi se rezolvă ecuaţiile: $$2^{x}=1 \Leftrightarrow x_{1}=0$$ $$2^{x}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{2}=\log_{2}\frac{2}{3}$$ $$S=\big\{0,\log_{2}\frac{2}{3} \big\}.$$